Considerar un sólido cuya base yace sobre el plano XY y está limitada por el eje X y por la curva y=sin(x), con 0≤x≤π12. Además, las secciones transversales, perpendiculares a la base y al eje X, son triángulos equiláteros. Entonces, el volumen del sólido es:

Step-by-step explanation:

Para resolver este problema podemos comenzar haciendo un diagrama de cómo se vería un volumen diferencial en esta situación (ver imagen adjunta).

A partir de dicha imagen, podemos escribir una integral general que nos dirá como encontrar el volumen de toda la figura:

Para lo cual necesitamos encontrar una ecuación para el área del triángulo. Sabemos que el area de un triángulo está dada por:

donde

b=base

h=altura

Ahora bien, como estamos hablando de triángulos equilateros, la altura puede reescribirse en términos de la base, haciendo uso de pitágoras, entonces obtenemos que:

lo cual se puede simplificar:

y esto a su vez puede ser sustituido en la ecuación del área:

En este caso, sabemos que la base está limitada por el eje x y la curva y=sen(x) (asumo que es de . Si los límites son distintos, lo único que cambia del procedimiento es eso, los límites de integración).

Entonces en este caso la base está dada por:

b=sen(x)

la cual puede ser sustituida en nuestra ecuación del área:

y esta a su vez puede ser sustituida en nuestra integral:

La cual puede ser simplificada:

Y ya podemos integrar. Por identidades trigonométricas sabemos que:

por lo que podemos sustituir la identidad en nuestra integral:

Y separarla en dos integrales:

E integramos:

Lo cual nos da de resultado:

Y este se simplifica a: